Wzrost wykładniczy: definicja

Czym jest wzrost wykładniczy?

Wzrost wykładniczy jest czymś zupełnie inny niż wzrost liniowy. Ten drugi zakłada, że dane zjawiska przyrastają zawsze z taka samą dynamiką, która przypada na określoną jednostkę czas. Przykładowo: jeśli w ciągu jednej godziny fabryka może wyprodukować X jednostek produktu, to suma wyprodukowanych jednostek w ciągu 5 godzin będzie wynosiła X+X+X+X+X, czyli w sumie 5X. To prosta zależność, którą znamy wszyscy i posługujemy się nią w codziennym życiu.

Nieco bardziej skomplikowany jest wzrost wykładniczy. Taki typ wzrostu świetnie obrazuje poniższa opowieść o człowieku, który poprosił o zapłatę w postaci “zaledwie ziarenek ryżu”:

Chciałbym jako zapłatę otrzymać tylko ziarna ryżu, ich liczbę niech odmierzają kwadraty szachownicy. Na pierwsze pole przypada jedno ziarenko, ale niech na każdy kolejny kwadrat liczba ziarenek się podwaja. Chcę dostać sumę wszystkich ziarenek.

Ile ziaren w sumie przypadnie na 64 polu szachownicy? To aż 9,223 kwintylionów! Jak to możliwe? Na początku wzrost przypomina znaną nam powszechnie funkcję liniową:

1 pole = 1

2 pole = 2

Ale już chwilę później widać pierwsze zmiany:

Na kwadratach od 3 do 8 to kolejno: 4, 8, 16, 32, 64 i 128 ziaren. Wciąż niezbyt dużo? Sytuację zmieniają kolejne pole, na których liczby stają się już naprawdę duże: 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, a na polu numer 16 jest to już 32 768 ziaren (!).

Wzrost wykładniczy dobrze obrazuje poniższy wykres (linia zielona!):

Przyrost wykładniczy: z czym się to wiąże?

W praktyce taki model wzrostu oznacza, że pewne zmiany zachodzą na początku stosunkowo wolno, a po jakimś czasie bardzo szybko. Taka dynamika wzrostu może często być zaskakująca.

Na wzroście wykładniczym opiera się np. prawo Moore’a.